Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，并且|F₁F₂|=6，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，△PF₁F₂的周長(zhǎng)為16．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M滿足|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1且$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，求|$\overrightarrow{PM}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義和焦距的概念，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1知，點(diǎn)M在以F₂為圓心，以1為半徑的圓上．由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0知，PM為圓F₂的切線，M為切點(diǎn)，故|PM|²=|PF₂|²-1，設(shè)P（x₀，y₀），代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)配方，由題意的范圍，可得最小值．

解答 解：（1）由橢圓的定義和焦距的概念，得2c=6，且2a+2c=16．
解得a=5，c=3，b²=a²-c²=25-9=16，
即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）由|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=1知，點(diǎn)M在以F₂為圓心，以1為半徑的圓上．
由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0知，PM為圓F₂的切線，M為切點(diǎn)，
故|PM|²=|PF₂|²-1，
當(dāng)|PF₂|取最小值時(shí)，|PM|取最小值，
設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}$=1，即有y₀²=16-$\frac{16}{25}$x₀²，
則|PF₂|²=（x₀-3）²+y₀²=（x₀-3）²+16-$\frac{16}{25}$x₀²=$\frac{9}{25}$（x₀-$\frac{25}{3}$）²，
又-5≤x₀≤5，當(dāng)x₀=5時(shí)，|PF₂|²的最小值為4，
所以|PM|的最小值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量的模和數(shù)量積的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．