Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB、AD的中點，
（1）A₁C₁與B₁C所成角的大小是

 

；
（2）A₁C₁與EF所成角的大小是

 

；
（3）A₁C與AD₁所成角的大小是

 

；
（4）AD₁與EF所成角的大小是

 

；
（5）BD₁與CE所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：利用正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成的角的概念和向量法求解．

解答： 解：（1）∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁與B₁C所成角為∠ACB₁，
∵△ACB₁是等邊三角形，
∴∠ACB₁=60°，
∴A₁C₁與B₁C所成角的大小是60°．
（2）∵A₁C₁∥AC，EF∥BD，
AC⊥BD，∴A₁C₁⊥EF，
∴A₁C₁與EF所成角的大小90°；
（3）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（2，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），

A1C

=（-2，2，-2），

AD1

=（-2，0，2），
cos＜

A1C

，

AD1

＞=

4+0-4

12 • 4

=0，
∴A₁C與AD₁所成角的大小是90°．
（4）∵EF∥BD，BD∥B₁D₁，
∴AD₁與EF所成角為∠AD₁B₁，
∵△AD₁B₁為等邊三角形，
∴∠AD₁B₁=60°，
∴AD₁與EF所成角的大小是60°；
（5）B（2，2，0），D₁（0，0，2），
C（0，2，0），E（2，1，0），

BD1

=（-2，-2，2），

CE

=（2，-1，0），
∴|cos＜

BD1

，

CE

＞|=|

-4+2+0

12 • 5

|=

15

15

．
∴BD₁與CE所成角的余弦值是

15

15

．
故答案為：60°；90°；90°；60°；

15

15

．

點評：本題考查異面直線所成的角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．