Question

2014世界園藝博覽會在青島舉行，某展銷商在此期間銷售一種商品，根據市場調查，當每套商品售價為x元時，銷量可以達到15-0.1x萬套，供貨商把該產品的供貨價格分為兩部分，其中固定價格為每套30元，浮動價格與銷量（單位：萬套）成反比，比例系數為k，假設不計其它成本，即每套產品銷售利潤=售價-供貨價格．
（1）若售價為50元時，展銷商的總利潤為180萬元，求售價為100元時的銷售總利潤；
（2）若k=10，求銷售這套商品總利潤的函數f（x），并求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得10×（50-30-

k

10

）=180，解得k=20，即可求得結論；
（2）由題意得f（x）=[x-（30+

10

15-0.1x

）]×（15-0.1x）=-0.1x²+18x-460，（0＜x＜150），利用導數判斷函數的單調性即可求得最大值．

解答： 解；（1）售價為50元時，銷量為15-0.1×50=10萬套，
此時每套供貨價格為30+

k

10

（元），
則獲得的總利潤為10×（50-30-

k

10

）=180，解得k=20，
∴售價為100元時，銷售總利潤為；
（15-0.1×1000（100-30-

20

15-0.1×100

）=330（萬元）．
（2）由題意可知每套商品的定價x滿足不等式組

x＞0 15-0.1x＞0

，即0＜x＜150，
∴f（x）=[x-（30+

10

15-0.1x

）]×（15-0.1x）=-0.1x²+18x-460，（0＜x＜150），
∴f′（x）=-0.2x+18，令f′（x）=0可得x=90，
且當0＜x＜90時，f′（x）＞0，當90＜x＜150時，f′（x）＜0，
∴當x=90時，f（x）取得最大值為350（萬元）．

點評：本題以函數為載體，考查學生分析問題、解決問題的能力及利用導數研究函數的單調性求函數最值的方法，屬于中檔題．