Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx-

1

2

ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，0）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（0，1）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．g′（x）=

1-ax

x

．當(dāng)a≤0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)a＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性可得：當(dāng)x=

1

a

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個(gè)不同解，只需要g（

1

a

）=ln

1

a

＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx-

1

2

ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-ax．
令g（x）=lnx+1-ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-

1

2

ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
g′（x）=

1-ax

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=

1

a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

a

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

1

a

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值．
當(dāng)x趨近于0與x趨近于+∞時(shí)，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則g（

1

a

）=ln

1

a

＞0，解得0＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．