Question

13．方程$\sqrt{-{x^2}-2x}$=kx+4有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{15}{8}，2]$
• B． [2，+∞）
• C． $（-∞，\frac{15}{8}]$
• D． $（\frac{15}{8}，+∞）$

Answer 1

分析 方程有兩個(gè)不等的實(shí)根可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數(shù)y=kx+4的圖象由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在求出臨界位置的直線的斜率即可．

解答 解：
方程有兩個(gè)不等的實(shí)根等價(jià)于函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函數(shù)y=kx+4的圖象由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
函數(shù)$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$的解析式可變形為x²+y²+2x=0，即（x+1）²+y²=1（y≥0），其圖象為圓點(diǎn)在（-1，0），半徑為1的圓在x軸上方的部分，如圖

由圖可知，當(dāng)直線PN繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線PM（PM為切線）位置時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
又${k}_{PN}=\frac{4-0}{0-（-2）}=2$，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)有：$\frac{|4-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，解得：k_PM=$\frac{15}{8}$，
∴k的取值范圍是$（\frac{15}{8}，2]$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用數(shù)形結(jié)合的方法判斷方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．解題關(guān)鍵是能正確把方程得解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．此題若用代數(shù)方法求解要復(fù)雜得多．屬于中檔題．