Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-x，h（x）=f（x）+x-alnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的值域；
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）≥2a-alna．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0，
在（-1，0）上，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（0，1）上，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_min=f（0）=1，
又∵$f（-1）=1+\frac{1}{e}，f（1）=e-1，f（-1）＜f（1）$，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，e-1]．
（2）證明：∵h(yuǎn)（x）=e^x-alnx，$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=0$，即${e^x}=\frac{a}{x}（x＞0）$，
當(dāng)a＞0時(shí)該方程有唯一零點(diǎn)記為x₀，即${e^{x_0}}=\frac{a}{x_0}$，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴$h{（x）_{min}}=h（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}$
=$\frac{a}{x_0}+aln\frac{1}{x_0}=\frac{a}{x_0}+aln\frac{{{e^{x_0}}}}{a}$
=$\frac{a}{x_0}+aln{e^{x_0}}-alna=\frac{a}{x_0}+a{x_0}-alna≥2a-alna$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．