Question

1．求下列動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程．
（1）與⊙C₁：x²+（y-1）²=1與⊙C₂：x²+（y+1）²=1都外切；
（2）與C₁：（x+3）²+y²=9外切，與⊙C₂：（x-3）²+y²=1內(nèi)切．

Answer 1

分析 （1）兩定圓的圓心分別是C₁（0，1），C₂，（0，-1），半徑分別為1，1，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程可求．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+3，|MC₂|=r-1，可得|MC₁|-|MC₂|=r+3-r+1=4＜|C₁C₂|=6，利用雙曲線的定義，即可求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解答 解：（1）兩定圓的圓心分別是C₁（0，1），C₂，（0，-1），半徑分別為1，1．
∵所求圓與兩個(gè)圓都外切，
∴點(diǎn)M的軌跡為x軸，方程為y=0（x≠0）；
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+3，|MC₂|=r-1，
∴|MC₁|-|MC₂|=r+3-r+1=4＜|C₁C₂|=6，
由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a=4，a=2，
雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了圓與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用定義求雙曲線的方程，是中檔題．