Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中底面是變長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}a$，求平面APB與平面PBD夾角的大�。�

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OE⊥PB于點(diǎn)E，連接AE，說明∠AEO是二面角A-PB-D的平面角，在Rt△AEO中，可求二面角A-PB-D的大�。�

解答 解：過點(diǎn)O作OE⊥PB于點(diǎn)E，連接AE．
∵AO⊥平面PBD，∴由三垂線定理得AE⊥PB．
∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥AB，由三垂線定理得PA⊥AB．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{3}$a，
∴AE=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴在Rt△AEO中，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角A-PB-D的大小為60°．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，二面角的作法以及求解方法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．，