Question

7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE與⊙O相切于點A，BD平分∠ABC，交⊙O于點D，交AE的延長線于點E，DF⊥AE于點F．
（Ⅰ）求證：$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）求證：AC=2AF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△DAE∽△ABE，即可證明$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）過點D作DH⊥AC，垂足為H，連接CD，證明DF=DH，AH=CH，即可證明AC=2AF．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE與⊙O相切于點A，∴∠EAD=∠EBA，
∵∠E=∠E，
∴△DAE∽△ABE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DE}$；
（Ⅱ）過點D作DH⊥AC，垂足為H，連接CD，則：
∵∠EAD=∠ABD，∠DAC=∠DBC，BD平分∠ABC，
∴∠EAD=∠DAC
∵DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH
在Rt△DFA和Rt△DHA中，DF=DH，DA=DA，
∴Rt△DFA≌Rt△DHA，
∴AF=AH，
∵∠ABD=∠CBD，
∴DC=DA，
∵DH⊥AC，
∴AH=CH，
∴AC=2AH=2AF．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查三角形全等的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．