Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求C的普通方程和l的傾斜角；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，2），l和C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）由參數(shù)方程消去參數(shù)α，得橢圓的普通方程，由極坐標(biāo)方程，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解出普通方程即可求出直線(xiàn)l的傾斜角．
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，利用參數(shù)的幾何意義求解即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直線(xiàn)l的普通方程與橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可．

解答 解法一：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$消去參數(shù)α，得$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，
即C的普通方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．（2分）
由$ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，得ρsinθ-ρcosθ=2，…（*）（3分）
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入（*），化簡(jiǎn)得y=x+2，（4分）
所以直線(xiàn)l的傾斜角為$\frac{π}{4}$． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)P（0，2）在直線(xiàn)l上，可設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=tcos\frac{π}{4}\\ y=2+tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），（7分）
代入$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$并化簡(jiǎn)，得$5{t^2}+18\sqrt{2}t+27=0$．（8分）
$△={（{18\sqrt{2}}）^2}-4×5×27=108＞0$．
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=-\frac{18}{5}\sqrt{2}＜0，{t_1}{t_2}=\frac{27}{5}＞0$，所以t₁＜0，t₂＜0，（9分）
所以$|{PA}|+|{PB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=-（{{t_1}+{t_2}}）=\frac{18}{5}\sqrt{2}$．（10分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）
（Ⅱ）直線(xiàn)l的普通方程為y=x+2．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+2\\{x^2}+9{y^2}=9\end{array}\right.$消去y得10x²+36x+27=0，（7分）
于是△=36²-4×10×27=216＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}＜0$，${x_1}{x_2}=\frac{27}{10}＞0$，所以x₁＜0，x₂＜0，
（8分）
故$|{PA}|+|{PB}|=\sqrt{1+{1^2}}|{x_1}-0|+\sqrt{1+{1^2}}|{x_2}-0|=\sqrt{2}|{x_1}+{x_2}|=\frac{{18\sqrt{2}}}{5}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題考查直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等