Question

如圖所示，平面ABC，CE//PA，PA=2CE=2。 

（1）求證：平面平面APB；   （2）求二面角A—BE—P的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ)  見(jiàn)解析  (Ⅱ) 

解析:

（1）取AB，PB的中點(diǎn)G，F(xiàn)連接CG，GF，F(xiàn)E，

       則GF//PA，且又CE//PA，，

       所以CE//GF，且CE=GF，所以四邊形GFEC是平行四邊形，

       所以EF//CG。,又AC=BC，AG=GB，

       所以， 又PA面ABC，得CGPA，，

       所以，CG面PAB，因此，EF面PAB，又面EPB，

       所以平面EPB平面APB。  

   （2）在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)Ａ作ＡＢPB于點(diǎn)H，

       因?yàn)槠矫鍱PB平面APB，

       又平面EPB平面APB=PB，

       所以AH平面EPB，取EB的中點(diǎn)M，

       連接AM，MH，  因為AB=AE=，    所以AMEB，

       故由三垂線定理的逆定理可知，HMEB，

       因此為二面角A—BE—P的平面角。  

       在，PA=2，

       所以在中，AB=BE=EA=，

       所以 

       因此，二面角A—BE—P的正弦值為