已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線L交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)．設(shè)
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，則λ1+λ2等于（　�。�
分析：設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可得到結(jié)論．
解答：解：由題意a=5，b=3，c=4，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
設(shè)直線l方程為：y=k（x-4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，y2），得P點(diǎn)坐標(biāo)（0，-4k），
因?yàn)?span id="jbyqi4m" class="MathJye">
PA
=λ1
AF
，所以（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1）
因?yàn)?span id="a5ruhov" class="MathJye">
PB
=λ2
BF
，所以（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．
得λ1=
x1
4-x1
，λ2=
x2
4-x2
．
直線l方程，代入橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，消去y可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．
所以x1+x2=
200k2
9+25k2
，x1x2=
400k2-225
9+25k2
．
所以λ1+λ2=
x1
4-x1
+
x2
4-x2
=
4(x1+x2)-2x1x2
16-4(x1+x2)+x1x2
=
4•
200k2
9+25k2
-2•
400k2-225
9+25k2
16-4•
200k2
9+25k2
+
400k2-225
9+25k2
=-
50
9

故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓
x2
25
+
y2
16
=1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，|
AM
|=1且
PM
•
AM
=0，則|
PM
|的最小值是
119
3
119
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程為
x2
25-k
+
y2
k-9
=1，則k的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P是
x2
25
+
y2
9
=1(x≠0，y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的角平分線上一點(diǎn)，且
F1M
•
MP
=0，則|
OM
|的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線L交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)．設(shè)
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，則λ1+λ2等于（　�。�
A．-
9
25
B．-
50
9
C．
50
9
D．
9
25

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