Question

3．如圖，已知直線l：y=$\sqrt{3}$x+4，圓O：x²+y²=3，直線m∥l．
（1）若直線m與圓O相交，求直線m縱截距b的取值范圍；
（2）設直線m與圓O相交于C、D兩點，且A、B為直線l上兩點，如圖所示，若四邊形ABCD是一個內角為60°的菱形，求直線m縱截距b的值．

Answer 1

分析 （1）利用m∥l，求出直線l；設直線m的方程，利用設圓心O到直線m的距離為d，通過直線m與圓O相交，求解即可．
（2）求出CD，利用AB與CD之間的距離，結合$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$求解即可．

解答 解：（1）∵m∥l，直線$l：y=\sqrt{3}x+4$，
∴可設直線$m：y=\sqrt{3}x+b$，即$\sqrt{3}x-y+b=0$，
設圓心O到直線m的距離為d，又因為直線m與圓O相交，
∴$d=\frac{|b|}{{\sqrt{{{（{\sqrt{3}}）}^2}+{{（{-1}）}^2}}}}＜r=\sqrt{3}$，…（2分）
即$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$，∴$b∈（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$…（4分）
（2）由$|{CD}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{3-\frac{b^2}{4}}$，①…（6分）
AB與CD之間的距離$h=\frac{{|{b-4}|}}{2}$，②…（8分）
又$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$③…（10分）
聯立①②③得到：b²-2b-5=0，又$b∈（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$，
解得：$b=1+\sqrt{6}$或$b=1-\sqrt{6}$…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．