Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B=$\frac{π}{3}$，且（cosA-3cosC）b=（3c-a）cosB．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{14}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由（cosA-3cosC）b=（3c-a）cosB，利用正弦定理可得：sin（A+B）=3sin（C+B），進而得出．
（II）由（I）可得：c=3a，利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，解得a，c，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（I）∵（cosA-3cosC）b=（3c-a）cosB，
由正弦定理可得：（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
∴sin（A+B）=3sin（C+B），
∴sin$（A+\frac{π}{3}）$=3sinA，
∴$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=3sinA，
解得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
（II）由（I）可得：c=3a，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴14=a²+9a²-6a²cos$\frac{π}{3}$，解得a=$\sqrt{2}$，c=3$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．