19．項數(shù)是2n的等差數(shù)列，中間兩項為an和an+1是方程x2-px+q=0的兩根，求證：此數(shù)列的和S2n是方程lg2x-（lgn2+lgp2）lgx+（lgn+lgp）2=0的兩根．

分析 利用韋達定理，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，通項的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵中間兩項為an和an+1是方程x2-px+q=0的兩根，
∴an+an+1=p，
∵1+2n=n+（n+1），
∴a1+a2n=an+an+1=p，
∴S2n=$\frac{2n}{2}$（a1+a2n）=pn，
∵方程lg2x-（lgn2+lgp2）lgx+（lgn+lgp）2=0，即lgx=lgn+lgp，
∴x=np，
∴此數(shù)列的和S2n是方程lg2x-（lgn2+lgp2）lgx+（lgn+lgp）2=0的兩根．

點評 本題考查韋達定理的運用，考查等差數(shù)列的求和公式，通項的性質(zhì)，屬于中檔題．

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