Question

11．已知△ABC是非直角三角形．
（1）求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）若∠A＞∠B，且tanA=-2tanB，求證：tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$；
（3）在（2）的條件下，求tanC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式的左邊，可得要證的等式成立．
（2）把tanA=-2tanB 代入（1）的結(jié)論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、半角公式化簡(jiǎn)可得要證的等式成立．
（3）令y=tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，利用輔助角公式、正弦函數(shù)的值域，求得y的最大值．

解答 解：（1）證明：∵△ABC是非直角三角形，∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC
=-tanC•（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，
故等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．
（2）證明：∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，且tanA=-2tanB，
∴-2tanB+tanB+tanC=-2tanBtanBtanC，
∴tanC=$\frac{-tanB}{-{2tan}^{2}B-1}$=$\frac{tanB}{1+{2tan}^{2}B}$=$\frac{cosBsinB}{{1+sin}^{2}B}$=$\frac{sin2B}{2+2•\frac{1-cos2B}{2}}$=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，
故要證的等式成立．
（3）在（2）的條件下，令y=tanC=$\frac{sin2B}{3-cos2B}$，可得sin2B+ycos2B=3y，
即 sin（2B+θ）=$\frac{3y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$ （sinθ=$\frac{y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$），
∴$\frac{3y}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$≤1，求得 y≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即y的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式、半角公式、輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．