Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²．
（1）求a_n；
（2）將{a_n}中的第2項，第4項，…，第2ⁿ項按原來的順序排成一個新數(shù)列{b_n}，令c_n=$\frac{{（{a_n}+1）•（{b_n}+1）}}{4}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n與前n項和為S_n的關(guān)系，只要S_n=n²．S_n-1=（n-1）²．n＞1，兩式相減，注意驗(yàn)證首項；
（2）明確{b_n}的通項公式，利用錯位相減法求和．

解答 解：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²．得S_n-1=（n-1）²．n＞1，
兩式相減得到a_n=2n-1（n＞1）；
令n=1，得到S₁=a₁=1，滿足上式；故a_n=2n-1．
（2）由已知${b_n}={a_{2^n}}=2•{2^n}-1$，${c_n}=n•{2^n}$
$\begin{array}{l}{T_n}=1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}\\ 2{T_n}=，1•{2^2}+2•{2^3}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}\end{array}$
∴${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

點(diǎn)評 本題考查了已知數(shù)列的前n項和，求通項公式；以及利用錯位相減法去數(shù)列的前n項和．