Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，斜率為

3

的直線過F與橢圓交于M、N，且向量

MF

=2

FN

，求離心率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設F（-c，0），直線MN的方程為y=

3

（x+c），代入橢圓方程，消去y，運用韋達定理，再由向量

MF

=2

FN

，得到-c-x₁=2（x₂+c），消去x₂，得到9c²b²+3a²c²=a²b²+3a⁴，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到．

解答： 解：設F（-c，0），直線MN的方程為y=

3

（x+c），
代入橢圓方程，消去y，得（b²+3a²）x²+6ca²x+3a²c²-a²b²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則x₁+x₂=-

6ca2

b2+3a2

，①x₁x₂=

3a2c2-a2b2

b2+3a2

，②
由于向量

MF

=2

FN

，則-c-x₁=2（x₂+c），即有x₁=-2x₂-3c，③
則③分別代入①，②，消去x₂，即得，9c²b²+3a²c²=a²b²+3a⁴，
代入b²=a²-c²，即得，9c⁴-13a²c²+4a⁴=0，
由于e=

c

a

，即有9e⁴-13e²+4=0，
則e²=

4

9

或e²=1（舍去0），
則e=

2

3

．
故離心率為

2

3

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，以及向量坐標的運算，考查運算能力，屬于中檔題．