Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=，x₁=1(n∈N*)．

(1)是否存在m∈N*，使x_m=2?證明你的結(jié)論；

(2)試比較x_n與2的大小關(guān)系；

(3)設(shè)a_n=|x_n-2|，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，

求證：S_n≤2-2^1-n．

Answer 1

解：(1)假設(shè)存在m∈N_*，使得x_m=2，

則2=

同理可得x_m-2=2，依次類推有x₁=2，與x₁=1矛盾．

所以假設(shè)不成立，故不存在m∈N*使得x_m=2．

(2)∵當(dāng)n≥2時，x_n+1-2=，

又x_n+1=1+，x₁=1,則x_n＞1

故x_n+1＞2，x_n+1-2與x_n-2符號相反，

而x₁=1＜2，則x₂＞2

以此類推有：x_2n-1＜2，x_2n＞2(n∈N^*)

(3)由上可知x_n+1≥2

所以|x_n+1-2|=|x_n-2|，

所以a_n≤a_n-1≤…≤()^n-2a₂≤()^n-1a₁=()^n-1

S_n≤1++()²+…+()^n-1=.