Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn ，
∴Sn+1﹣Sn=2Sn ，
∴ =3．
又∵S1=a1=1，
∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n﹣1（n∈N*）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣2Sn﹣1=23n﹣2（n≥2），
∴an=
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan ，
當(dāng)n=1時(shí)，T1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=1+430+631+…+2n3n﹣2 ， ①3Tn=3+431+632+…+2n3n﹣1 ， ②
①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n3n﹣1=2+2 =﹣1+（1﹣2n）3n﹣1
∴Tn= +（n﹣ ）3n﹣1（n≥2）．
又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn= +（n﹣ ）3n﹣1（n∈N*）
【解析】（I）利用遞推公式an+1=2Sn把已知轉(zhuǎn)化為Sn+1與Sn之間的關(guān)系，從而確定數(shù)列an的通項(xiàng)；（II）由（I）可知數(shù)列an從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，設(shè)bn=n則數(shù)列bn為等差數(shù)列，所以對(duì)數(shù)列nan的求和應(yīng)用乘“公比”錯(cuò)位相減．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．