【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）若，，證明：，.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。

（1）解：因為，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而，，，

所以的零點個數(shù)為1.

（2）證明：因為，從而.

又因為，

所以要證，恒成立，

即證，恒成立，

即證，恒成立.

設(shè)，則，

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減.

所以.

設(shè)，則，

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】華中師大附中中科教處為了研究高一學生對物理和數(shù)學的學習是否與性別有關(guān)，從高一年級抽取60,名同學（男同學30名，女同學30名），給所有同學物理題和數(shù)學題各一題，讓每位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表：（單位：人）

（1）在犯錯誤的概率不超過1%是條件下，能否判斷高一學生對物理和數(shù)學的學習與性別有關(guān)？

（2）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時間5—8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率；

（3）現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對題目的解答情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，

．

其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．

（Ⅰ）若，，試寫出，的表達式；

（Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；

（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點，與橢圓分別交于與不同四點，直線的斜率滿足, 已知與軸重合時, .

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點使得為定值，若存在，求出點坐標并求出此定值，若不存在，

說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)，由題意可得，即，又由條件得，構(gòu)造，令，則，利用導數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調(diào)遞增，

當時，，即在上單調(diào)遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設(shè)，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進行證明．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.

（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；

（2）某商家為了鼓勵人們使用手機支付，做出以下促銷活動：凡是用手機支付的消費者，商品一律打八折. 已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)， ，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中底面，為直角，，，分別為的中點.

（1）試證：平面；

（2）求與平面所成角的大�。�

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)對它們一一取出（不放回）進行檢測，直至取出所有次品為止．

（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)有多少？

（2）若恰在第6次取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？

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