Question

14．如圖1ABCD為矩形，其中BC邊長(zhǎng)度為2，AB邊長(zhǎng)度為1，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊使得平面ABE⊥平面BEDC，連接AC、AD（如圖2）．
（1）求圖2的側(cè)視圖的面積；
（2）求二面角A-CD-B所成角的正切值；
（3）點(diǎn)M在AD上，且AM：MD=5：2，點(diǎn)N在棱AC上，BN∥平面EMC，求AN的值．

Answer 1

分析 （1）確定側(cè)視圖的底和高結(jié)合三角形的面積公式即可求圖2的側(cè)視圖的面積；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義得到∠AHO為二面角A-CD-B的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角A-CD-B所成角的正切值；
（3）根據(jù)BN∥平面EMC以及對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由圖可知側(cè)視圖為三角形，設(shè)BE 的中點(diǎn)為O，連結(jié)AO．
∵AB=AE=1，O為BE中點(diǎn)，
∴AO⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCDE，且AO?平面ABE，
∴AO⊥平面BCDE，則AO的長(zhǎng)度即為側(cè)視圖的高的長(zhǎng)度．
∵CD⊥BC，
∴CD的長(zhǎng)度為側(cè)視圖的底邊長(zhǎng)，
∴側(cè)視圖的面積S=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）取CD中點(diǎn)H，連結(jié)OH，AH，則OH⊥CD．
由（1）知，AO⊥平面BCDE，
∴AH⊥CD．
∴∠AHO為二面角A-CD-B的平面角，
∴OH=$\frac{1}{2}$（ED+BC）=$\frac{3}{2}$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠AHO=$\frac{AO}{OH}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）連接BD，交CE于P，連接PM，在梯形BCDE中，ED=1，BC=2，DE∥BC，
∴BP：PD=2：1，取AM 中點(diǎn)Q，使QM：MD=2：1
連BQ，∴QM：MD=2：1=BP：PD，
∴BQ∥PM，
由AM：MD=5：2得AQ：QM=1：4，
在AC上去N使AN：NC=1：4，連接BN，則QN∥MC，
∵BQ∥PM，QN∥MC，BQ?平面MEC，PM?平面MEC，NQ?平面MEC，MC?平面MEC，
∴BQ∥平面MEC，QE∥平面MEC，
∵BQ∩QE=Q，
∴平面BQN∥平面MEC，
∵BN?平面BQN，
∴BN∥平面BQN，
∵N是AC的中點(diǎn)，
∴AN=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量較大，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．