Question

3．已知變換T把平面上的所有點(diǎn)都垂直投影到直線y=x上．
（1）試求出變換T所對(duì)應(yīng)的矩陣M．
（2）求直線x+y=2在變換T下所得到的圖形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），過P作y=x的垂線，垂足P'（x₁，y₁），就是P的映射，求得PP'的方程，將y=x代入直線方程，求得x₁和y₁，將其寫成矩陣乘積的形式，即可求得矩陣M；
（2）直線x+y=2與直線y=x垂直，故其投影退化為一點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），過P作y=x的垂線，垂足P'（x₁，y₁），就是P的映射，
PP'的斜率-1，方程y-y₀=-（x-x₀）=-x+x₀，
y=x代入：x-y₀=-x+x₀，整理得：2x=x₀+y₀，x₁=$\frac{{x}_{0}}{2}$+$\frac{{y}_{0}}{2}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
y₁=x₁=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
∴$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$
∴M=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$；
（2）這是一個(gè)退化的線性變換，直線x+y=2與直線y=x垂直，故其投影退化為一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣變換及矩陣投影變換，考查分析問題及計(jì)算能力，屬于中檔題．