【題目】已知函數(shù).

（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；

（2）若，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)求得的最大值，進而得到結(jié)果；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導函數(shù)正負可確定單調(diào)性，進而得到，化簡后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.

由函數(shù)解析式可知，定義域為.

（1），

在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立

令，則，在上單調(diào)遞增，

，，解得：，

的最大值為.

（2）由（1）知：，則，

在上單調(diào)遞增.

，當時，，，此時，

由零點存在定理可知，存在，使得，即，

.

當時，；當時，，

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，

（當且僅當，即時取等號）.

當時，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校擬從甲、乙兩名同學中選一人參加疫情知識問答競賽，于是抽取了甲、乙兩人最近同時參加校內(nèi)競賽的十次成績，將統(tǒng)計情況繪制成如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.甲、乙成績的中位數(shù)均為7

B.乙的成績的平均分為6.8

C.甲從第四次到第六次成績的下降速率要大于乙從第四次到第五次的下降速率

D.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，、.

（1）若，且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線，求實數(shù)的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意實數(shù)，函數(shù)在上總有零點，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處的切線的方程為，求此時的最值；

（2）若對任意，，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點.求

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的四個頂點圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過橢圓的短軸端點．

求橢圓的方程；

過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點，求四邊形面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，（n∈N*），前n項和為Sn (參考數(shù)據(jù)： ln2≈0.693，ln3≈1.099)，則下列選項中錯誤的是（ ）

A.是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要( )

A.3233萬元B.4706萬元C.4709萬元D.4808萬元

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司準備設計一個精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形ABCD組成的，且．設計人員想在心形盒子表面上設計一個矩形的標簽EFGH，標簽的其中兩個頂點E，F在AM上，另外兩個頂點G，H在CN上（M，N分別是AB，CB的中點）．設EF的中點為P，，矩形EFGH的面積為．

（1）寫出S關于的函數(shù)關系式

（2）當為何值時矩形EFGH的面積最大？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案