Question

11．已知函數(shù)g（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性
（2）用定義證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，即函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù) …（6分）
證明：（2）設x₁＜x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關鍵．