Question

9．三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)度分別為6，4，4，則其頂點(diǎn)到底面的距離為（　　）

• A． $\frac{14}{3}$
• B． 2$\sqrt{17}$
• C． $\frac{6\sqrt{22}}{11}$
• D． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)三棱錐為P-ABC，且PA=6，PB=PC=4，以P為原點(diǎn)，建立空間直角空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出P到面ABC的距離．

解答 解：設(shè)三棱錐為P-ABC，且PA=6，PB=PC=4，
以P為原點(diǎn)，建立空間直角空間直角坐標(biāo)系如圖，
則P（0，0，0），A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（6，0，0），$\overrightarrow{AB}$=（-6，4，0），$\overrightarrow{AC}$=（-6，0，4），
設(shè)面ABC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-6x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-6x+4z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，3，3），
∴P到面ABC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{\sqrt{4+9+9}}$=$\frac{6\sqrt{22}}{11}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．