【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:的離心率為,點A(2,1)是橢圓E上的點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點A作兩條互相垂直的直線l1,l2分別與橢圓E交于B,C兩點,己知△ABC的面積為,求直線BC的方程.
【答案】(1)(2)x=或x-4y-2=0
【解析】
(1)將點的坐標代入橢圓方程,結(jié)合,解方程組求得的值,從而得到橢圓方程.(2)首先考慮直線斜率不存在的情況,此時面積不合題意.當直線斜率存在是,設(shè)出之心方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,用弦長公式求出,同理求得,再用三角形面積為列方程,求得直線的斜率,由此求得的坐標,進而求得直線的方程.
解:(1) 因為橢圓E的離心率為,所以=,
又因為a2=b2+c2=2c2,所以a2=2b2=2c2,
因為點A(2,1)是橢圓E上的點,所以+=1
解得b2=3,a2=6,
所以橢圓E的標準方程是+=1.
(2)當AB的斜率不存在或為0時,AB=4或2,此時△ABC的面積為4,不合題意舍去;
當AB的斜率存在且不為0時,設(shè)AB的斜率為k,則直線AB方程為y-1=k(x-2),
由解得或
AB=|-2|=||,
同理將上式中的k用-替換,得AC=||,
因為△ABC的面積為,所以AB AC=||||=,
化簡得=,
當k2≥1時,原方程可化為8k4-25k2-28=0,解得k2=4,
當k2≤1時,解得k2=,
即k=2或-2或或-,
當AB的斜率2時,AC的斜率-,此時B點坐標(,-),C點坐標(,),
此時直線BC的方程為x=,
當AB的斜率-2時,AC的斜率,此時B點坐標(,),C點坐標(-2,-1),
此時直線BC的方程為x-4y-2=0,
綜上,直線BC的方程為x=或x-4y-2=0.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列中, ,其前項和為,等比數(shù)列的各項均為正數(shù), ,且, .
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)令,設(shè)數(shù)列的前項和為,求()的最大值與最小值.
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【題目】已知曲線的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線與曲線相交于,兩點,且,求直線的傾斜角的值.
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【題目】某電視臺有一檔益智答題類綜藝節(jié)日,每期節(jié)目從現(xiàn)場編號為01~80的80名觀眾中隨機抽取10人答題.答題選手要從“科技”和“文藝”兩類題目中選一類作答,一共回答10個問題,答對1題得1分.
(1)若采用隨機數(shù)表法抽取答題選手,按照以下隨機數(shù)表,從下方帶點的數(shù)字2開始向右讀,每次讀取兩位數(shù),一行用完接下一行左端,求抽取的第6個觀眾的編號.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
(2)若采用等距系統(tǒng)抽樣法抽取答題選手,且抽取的最小編號為06,求抽取的最大編號.
(3)某期節(jié)目的10名答題選手中6人選科技類題目,4人選文藝類題目.其中選擇科技類的6人得分的平均數(shù)為7,方差為;選擇文藝類的4人得分的平均數(shù)為8,方差為.求這期節(jié)目的10名答題選手得分的平均數(shù)和方差.
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【題目】已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的x集合,如果對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x,函數(shù)值均為正,則稱此函數(shù)為“正函數(shù)”.
(1)證明函數(shù)是“正函數(shù)”;
(2)如果函數(shù)不是“正函數(shù)”,求正數(shù)a的取值范圍.
(3)如果函數(shù)是“正函數(shù)”,求正數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知,都是各項為正數(shù)的數(shù)列,且,.對任意的正整數(shù)n,都有,,成等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一個元素,求實數(shù)的取值范圍.
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