Question

16．已知△ABC的三個頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，且cosC=$\frac{1}{3}$，BC=1，AC=3，三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{14}}{6}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 24π

Answer 1

分析 通由余弦定理可知AB，求出B的大小，利用三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{14}}{6}$，求出O到底面的距離，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：∵△ABC，cosC=$\frac{1}{3}$，BC=1，AC=3，
∴由余弦定理可知：AB=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴B=90°．
∴斜邊AC的中點(diǎn)就是△ABC的外接圓的圓心，
設(shè)三棱錐O-ABC的底面ABC上的高為h，則
∵三棱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×1×h$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，ABC的外接圓的半徑為$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴R=$\sqrt{\frac{7}{4}+\frac{9}{4}}$=2，
球O的表面積為4πR²=16π．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．