Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）=x⁴+f（x）．
（1）當(dāng)a=-

10

3

時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（3）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a的值代入后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時求原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值說明f'（x）=0僅有x=0一個根得到答案．
（3）根據(jù)函數(shù)9（x）的單調(diào)性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范圍．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+4x=x（3ax+4）．                                    …（1分）
當(dāng)a=-

10

3

時，f'（x）=x（-10x+4）．令（n∈N），解得x₁=0，x2=

2

5

．      …（2分）
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 2 5 )	2 5	( 2 5 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以f（x）在(0，

2

5

)內(nèi)是增函數(shù)，在（-∞，0），(

2

5

，+∞)內(nèi)是減函數(shù)．            …（5分）
（2）g'（x）=4x³+f'（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．…（7分）
為使g（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，…（8分）
即有△=9a²-64≤0．解不等式，得-

8

3

≤a≤

8

3

．這時，g（0）=b是唯一極值．    …（9分）
因此滿足條件的a的取值范圍是[-

8

3

，

8

3

]．                                …（10分）
（3）g'（x）=x（4x²+3ax+4）由條件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，…（11分）
從而4x²+3ax+4＞0恒成立．在（-

8

3

，

8

3

）上，當(dāng)x＜0時，g'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0．
因此函數(shù)g（x）在[-1，1]上的最大值是g（1）與g（-1）兩者中的較大者．         …（13分）
為使對任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)

g(1)≤1 g(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．                       …（15分）
所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]…（16分）

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．