Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若?x∈R，f（x）≥1，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,全稱命題,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）≥0得e^x≥a，分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在R上恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，再求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）要使f（x）≥1對(duì)任意的x∈R恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0，恒成立，故f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=lna，
當(dāng)f′（x）＞0得x＞lna，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞），
當(dāng)f′（x）＜0得x＜lna，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna），
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna），
（2）若f（x）≥1對(duì)任意的x∈R恒成立，
∴e^x-ax≥1，
即e^x-ax-1≥0，
設(shè)g（x）=e^x-ax-1，
∴g（x）≥0，
∴g（x）_min≥0，
由（1）知，可知即f（x）在x=lna處取得極小值且為最小值，
f（lna）=e^lna-alna=a-alna
∴g（x）_min=a-alna-1，
設(shè)h（a）=a-alna-1，
則h′（a）=1-lna-1=-lna，
由h′（a）=0得a=1，
由h′（x）＞0得，0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h′（x）＜0得，x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（a）在a=1處取得最大值，即h（1）=0，
因此h（a）≥0的解為a=1，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．