Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

-x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若A、B是曲線y=f（x）上的任意不同兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為m、n，曲線y=f（x）在x=t處的切線與直線AB平行，求證：m+n＞2t．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x）=

-x2+x+a

x2

，（x＞0），解不等式從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f′（t）=

f(m)-f(n)

m-n

=

ln m n

m-n

+

a

mn

-1，得f′（t）-f′（

m+n

2

）=

1

m-n

[ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

]+

a

mn

-

4a

(m+n)2

，不妨設(shè)m＞n，且

m

n

=μ，設(shè)g（μ）=lnμ-

2(μ-1)

μ+1

，從而g（μ）＞g（1）=0，得f′（t）＞f′′（

m+n

2

），故由f′（t）＞f′（

m+n

2

）知

m+n

2

＞t，即m+n＞2t．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

-x2+x+a

x2

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

1+ 1+4a

2

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

1+ 1+4a

2

，
∴f（x）在（0，

1+ 1+4a

2

）遞增，在（

1+ 1+4a

2

，+∞）遞減；
（2）∵y=f（x）在x=t處的切線與直線AB平行，
∴f′（t）=

f(m)-f(n)

m-n

=

ln m n

m-n

+

a

mn

-1，
又f′（

m+n

2

）=-1+

2

m++n

+

4a

(m+n)2

，
∴f′（t）-f′（

m+n

2

）=

1

m-n

[ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

]+

a

mn

-

4a

(m+n)2

，
不妨設(shè)m＞n，且

m

n

=μ，
則由m＞0，n＞0，知μ＞1，
設(shè)g（μ）=lnμ-

2(μ-1)

μ+1

，
則μ＞1時，g′（μ）＞0，
∴g（μ）在（1，+∞）遞增，
從而g（μ）＞g（1）=0，
即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
又

a

mn

-

4a

(m+n)2

＞

a

mn

-

4a

(2 mn )2

=0，
∴f′（t）-f′（

m+n

2

）＞0，
即f′（t）＞f′′（

m+n

2

），
令h（x）=f′（x）=-1+

1

x

，
則h′（x）=-

1

x2

-

2a

x2

＜0，
∴f′（x）在（0，+∞）遞減，
而

m+n

2

＞0，t＞0，
故由f′（t）＞f′（

m+n

2

）知

m+n

2

＞t，
即m+n＞2t．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，是一道綜合題．