Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，

3

）在橢圓C上，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且有

IG

=λ

F1F2

（λ為實(shí)數(shù)），則橢圓方程為（　�。�

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  +

  5y2

  27

  =1
• D、

  x2

  10

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：在△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，由于點(diǎn)P（2，

3

）以及

IG

=λ

F1F2

（可得內(nèi)心IG的縱坐標(biāo)，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內(nèi)心分割的三個(gè)小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可得到橢圓方程

解答：解：設(shè)點(diǎn)P距x軸的距離為

3

，因?yàn)镮G∥F₁F₂，則點(diǎn)I距x軸的距離為

3

3

，連接F₁I，F(xiàn)₂I，PI，則S△F1PF2=

1

2

×|F1F2|×

3

=

1

2

×2c×

3

=

3

c，S△F1PF2=S△F1IF2+S△F1IP+S△F2IP=

1

2

×|F1F2|×

3

3

+

1

2

×(|PF1|+|PF2|)×

3

3

=(a+c)

3

3

，所以(a+c)

3

3

=

3

c，⇒a=2c⇒b=

3

c，所以

4

4c2

+

3

3c2

=1⇒c2=2，所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

6

=1．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義，重心坐標(biāo)公式，三角形內(nèi)心的意義及其應(yīng)用