【題目】已知點P是長軸長為 的橢圓Q: 上異于頂點的一個動點,O為坐標原點,A為橢圓的右頂點,點M為線段PA的中點,且直線PA與OM的斜率之積恒為 .
(1)求橢圓Q的方程;
(2)設過左焦點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于C,D兩點,線段CD的垂直平分線與x軸交于點G,點G橫坐標的取值范圍是 ,求|CD|的最小值.
【答案】
(1)解:∵橢圓Q的長軸長為 ,∴ .
設P(x0,y0),
∵直線PA與OM的斜率之積恒為 ,∴ ,
∴ ,∴b=1,
故橢圓的方程為
(2)解:設直線l方程為y=k(x+1)(k≠0),代入 有(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
∴ .
∴
∴CD的垂直平分線方程為 ,
令y=0,得
∵ ,∴ ,∴ . = ,
【解析】(1)利用橢圓Q的長軸長為 ,求出 .設P(x0 , y0),通過直線PA與OM的斜率之積恒為 ,化簡求出b,即可得到橢圓方程.(2)設直線l方程為y=k(x+1)(k≠0),代入 有(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,設A(x1 , y1),B(x2 , y2),AB中點N(x0 , y0),利用韋達定理求出CD的垂直平分線方程,推出 ,利用弦長公式化簡,推出|CD|的最小值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:).
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【題目】過橢圓 =1的右焦點F作斜率k=﹣1的直線交橢圓于A,B兩點,且 共線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)當三角形AOB的面積S△AOB= 時,求橢圓的方程.
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【題目】已知圓,直線,.
(1)求證:對,直線與圓總有兩個不同的交點;
(2)是否存在實數,使得圓上有四點到直線的距離為?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由;
(3)求弦的中點的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線.
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【題目】已知橢圓C的方程為 + =1(a>b>0),雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°,且雙曲線的焦距為4 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)設F1 , F2分別為橢圓C的左,右焦點,過F2作直線l(與x軸不重合)交于橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為E,記直線F1E的斜率為k,求k的取值范圍.
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【題目】已知a>0,b>0,函數f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1.
(1)求證:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求實數t的最大值.
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【題目】已知函數 ,在下列命題中,其中正確命題的序號是.
⑴曲線 必存在一條與 軸平行的切線;
⑵函數 有且僅有一個極大值,沒有極小值;
⑶若方程 有兩個不同的實根,則 的取值范圍是 ;
⑷對任意的 ,不等式 恒成立;
⑸若 ,則 ,可以使不等式 的解集恰為 ;
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