Question

【題目】已知圓，直線，.

（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得圓上有四點(diǎn)到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由；

（3）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由圓心到直線的距離小于半徑可證得相交；

（2）利用圓心到直線的距離為，可求得；

（3）設(shè)中點(diǎn)為，利用，即可得解.

試題解析：

證明：（1）圓的圓心為，半徑為，

所以圓心到直線的距離.

所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）假設(shè)存在直線，使得圓上有四點(diǎn)到直線的距離為，

由于圓心，半徑為，

則圓心到直線的距離為

化簡得，解得或.

（3）設(shè)中點(diǎn)為，

因?yàn)橹本�恒過定點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，又，

∵，∴

化簡得.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，

此時(shí)中點(diǎn)為，也滿足上述方程.

所以的軌跡方程是，

它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓.