Question

11．如圖所示，已知在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的一邊上取一點(diǎn)E，使AE=$\frac{1}{4}$AD，過AB的中點(diǎn)F作HF⊥EC于H．
（1）求證：FH=FA；
（2）求EH：HC的值．

Answer 1

分析 （1）建立直角坐標(biāo)系．可得A（0，0），C（1，1），E（0，$\frac{1}{4}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0）．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線FH的斜率，再利用點(diǎn)斜式分別得到直線CE、FH的方程，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出答案．
（2）求出|EH|=$\sqrt{（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{4}-\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，|CH|=$\sqrt{（1-\frac{1}{5}）^{2}+（1-\frac{2}{5}）^{2}}$=1，可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示．建立直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），C（1，1），E（0，$\frac{1}{4}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0）
直線CE：y=$\frac{1-\frac{1}{4}}{1-0}x+\frac{1}{4}$，化為y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．
∵FH⊥CE，∴k_FH=-$\frac{4}{3}$．
∴直線FH：y=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{1}{2}$），即y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
聯(lián)立解得H（$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
∴|FH|=$\frac{1}{2}$，
∵|AF|=$\frac{1}{2}$，
∴|FH|=|AF|．
（2）∵|EH|=$\sqrt{（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{4}-\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，|CH|=$\sqrt{（1-\frac{1}{5}）^{2}+（1-\frac{2}{5}）^{2}}$=1．
∴EH：HC=1：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過建立直角坐標(biāo)系證明幾何問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．