Question

9．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x，若對于任意的x∈[a，a+2]，均有f（x+a）≥f²（x），則實(shí)數(shù)a取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[-\frac{1}{2}，1）$
• C． $（-∞，-\frac{3}{2}]$
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后將不等式f（x+a）≥f²（x）化簡，對a進(jìn)行討論，將x解出來，做到參數(shù)分離，由恒成立思想，即可求出a的范圍．

解答 解：由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，即有2^x+a≥2^2x，x≤a，不合                        
（2）當(dāng)a+2≤0時(shí)，即有$（\frac{1}{2}）^{x+a}$≥$（\frac{1}{2}）^{2x}$，x≥a，恒成立，a≤-2符合                 
（3）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，若x+a＞0，則a+2≥-a，a≥-1由（1）得不合
若x＜0由（2）得成立，則x+a＜0，x＞0時(shí)恒成立，即$（\frac{1}{2}）^{x+a}$≥2^2x，x≤-$\frac{a}{3}$，
∴a+2≤-$\frac{a}{3}$，∴a$≤-\frac{3}{2}$，∴-2＜a≤-$\frac{3}{2}$
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤-$\frac{3}{2}$
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，求出函數(shù)在定義域上的解析式是解題的關(guān)鍵，考查解決恒成立問題的常用方法：參數(shù)分離，必須掌握．