Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}：3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*），a₁=a，a₂=b，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過對(duì)3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*）變形可知a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為b-a、公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，從而a_n+1-a_n=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，累加計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*），
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），
又∵a₂-a₁=b-a，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為b-a、公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴a_n-a_n-1=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-2}$，a_n-1-a_n-2=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-3}$，…，a₂-a₁=b-a，
累加得：a_n-a₁=（b-a）•$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$=3（b-a）[1-$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]，
∴a_n=a+3（b-a）[1-$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．