Question

1．過點A（-2，3）作直線與拋物線y²=8x在第一象限相切于點B，記拋物線的焦點為F，則直線BF的斜率為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 求出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的斜率公式求出BF的斜率．

解答 解：拋物線C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2$\sqrt{2}x$，
設(shè)切點B（m，n），則n=2$\sqrt{2}$m，
又導(dǎo)數(shù)y′=2$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$，則在切點處的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，
∴$\frac{n-3}{m+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$即$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$m-3$\sqrt{m}$，
解得$\sqrt{m}$=2$\sqrt{2}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），
∴切點B（8，8），又F（2，0），
∴直線BF的斜率為$\frac{8-0}{8-2}$=$\frac{4}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查直線與拋物線相切，運用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是一道中檔題．