Question

3．若F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞2b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別過F₁，F(xiàn)₂作傾斜角為45°的兩條直線與橢圓相交于四點(diǎn)，以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形和一橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積比等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求該橢圓的離心率（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由點(diǎn)斜式方程求出過F₁（-c，0）的直線方程，設(shè)直線y=x+c與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理求出|y₁-y₂|，由條件列出方程化簡(jiǎn)，利用橢圓基本量的關(guān)系和離心率公式求出e即可．

解答 解：由題意得，過F₁（-c，0）傾斜角是45°的直線方程是y=x+c，如圖：
設(shè)直線y=x+c與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
則y₁+y₂=$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$（{y}_{1}{-y}_{2}）^{2}$=${（{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$=$（\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}）^{2}-4×（-\frac{^{4}}{{a}^{2}+^{2}}）$=$\frac{8{a}^{2}^{4}}{{（a}^{2}+^{2}）^{2}}$，
則|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}{ab}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴以該四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積S₁=|F₁F₂||y₁-y₂|=2c•$\frac{2\sqrt{2}{ab}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}{acb}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是S₂=2ab，
∴$\frac{\sqrt{2}bc}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，化簡(jiǎn)得2b²+c²=3bc，
（2b-c）（b-c）=0，2b=c或b=c；
∴a²=b²+4b²=5b²或a²=2b²，
又∵a＞2b＞0，∴a²=5b²，則c²=4b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，以及圓錐曲線與直線的位置關(guān)系應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．