Question

9．已知2ax²+bx-3a+1≥0，在x∈[-4，4]上恒成立，求5a+b的最小值．

Answer 1

分析 由2ax²+bx-3a+1≥0在x∈[-4，4]上恒成立，得a≤$\frac{1}{3}$，再分類討論，利用線性規(guī)劃知識(shí)求解，即可求出5a+b的最小值．

解答 解：由2ax²+bx-3a+1≥0恒成立，得a≤$\frac{1}{3}$．
①0＜a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，問題等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≤-4}\\{f（-4）≥0}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≥4}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$（2）或f（-$\frac{4a}$）≥0（3）．
由（1）得$\left\{\begin{array}{l}{16a-b≤0}\\{29a-4b+1≥0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，取得最小值0；

由（2）得$\left\{\begin{array}{l}{16a+b≤0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點(diǎn)A（$\frac{1}{35}，-\frac{16}{35}$）時(shí)，取得最小值-$\frac{11}{35}$

由（3）得24a²-8a+b²≤0，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點(diǎn)B（$\frac{1}{21}，-\frac{12}{21}$）時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{3}$；

②a≤0時(shí)，問題等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{29a-4b+1≥0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，-$\frac{1}{4}$）時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{4}$，

綜上，a=$\frac{1}{21}$，b=-$\frac{12}{21}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．