Question

13．從橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上的動(dòng)點(diǎn)M作圓${x^2}+{y^2}=\frac{b^2}{2}$的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為P和Q，直線(xiàn)PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，則△EOF面積的最小值是$\frac{b^3}{4a}$．

Answer 1

分析 由題意，求得直線(xiàn)PQ的方程，求得直線(xiàn)PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，利用三角形的面積公式求得S=$\frac{^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$，由M在橢圓方程，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得△EOF面積的最小值．

解答 解：設(shè)（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴直線(xiàn)MP和MQ的方程x₁x+y₁y=$\frac{^{2}}{2}$，x₂x+y₂y=$\frac{^{2}}{2}$，
由M在MP上和MQ上，則
x₁x₀+y₁y₀=$\frac{^{2}}{2}$，x₂x₀+y₂y₀=$\frac{^{2}}{2}$，
則P和Q滿(mǎn)足xx₀+yy₀=$\frac{^{2}}{2}$，
∴直線(xiàn)PQ的方程為xx₀+yy₀=$\frac{^{2}}{2}$，
則直線(xiàn)PQ與x軸和y軸的焦點(diǎn)分別為E（$\frac{^{2}}{2{x}_{0}}$，0），F(xiàn)（0，$\frac{^{2}}{2{y}_{0}}$），
∴△EOF面積S=$\frac{1}{2}$×丨OE丨×丨OF丨=$\frac{^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$，
由M在橢圓方程，即b²y₀²+a²x₀²=a²b²，
由b²y₀²+a²x₀²≥2ab丨x₀y₀丨，則丨x₀y₀丨≤$\frac{ab}{2}$，
則S=$\frac{^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$≥$\frac{^{3}}{4a}$，當(dāng)且僅當(dāng)b²y₀²=a²x₀²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{2}$，
△EOF面積的最小值$\frac{b^3}{4a}$，
故答案為：$\frac{b^3}{4a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的方程的求法，橢圓的性質(zhì)，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．