Question

在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z）．
（Ⅰ）若點(diǎn)P在x軸上，且坐標(biāo)滿足|2x-5|≤3，求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為2

3

，求x+y+z的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：綜合題,推理和證明,不等式

分析：（Ⅰ）利用絕對值不等式，求出x的范圍，即可求點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值；
（Ⅱ）點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為2

3

，故x²+y²+z²=12，由柯西不等式，得（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，即可求x+y+z的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由點(diǎn)P在x軸上，所以P（x，0，0），
又坐標(biāo)滿足|2x-5|≤3，所以-3≤2x-5≤3，…（2分）
解得1≤x≤4，…（3分）
所以點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為1..…（4分）
（Ⅱ）由點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為2

3

，
故x²+y²+z²=12，…（5分）
由柯西不等式，得（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²，…（6分）
即（x+y+z）²≤36，
所以x+y+z的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)取最大．…（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．