【題目】某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制.各等制劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為等；分?jǐn)?shù)在內(nèi)，記為等；分?jǐn)?shù)在內(nèi)，記為等；60分以下，記為等.同時(shí)認(rèn)定為合格， 為不合格.已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級為的所有數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.

（Ⅰ）求圖1中的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；

（Ⅱ）在選取的樣本中，從甲，乙兩校等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

【答案】(1)；甲、乙兩校的合格率均為96%;（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）頻率分布直方圖中，小矩形的和為頻率和，和為1，這樣可得到的值；合格率為大于等于60分的頻率和;（2）為級，甲校C級的頻率為，人數(shù)為，而乙校C級的人數(shù)為4人，隨機(jī)抽取3人中，甲校學(xué)生人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，所對應(yīng)的概率，列分布列并求數(shù)學(xué)期望.

試題解析：（1）由題意，可知，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲學(xué)校的合格率為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

而乙學(xué)校的合格率為．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴甲、乙兩校的合格率均為96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）樣本中甲校等級的學(xué)生人數(shù)為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

而乙校等級的學(xué)生人數(shù)為4．

∴隨機(jī)抽取3人中，甲校學(xué)生人數(shù)的可能取值為0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分

∴，

∴的分布列為


0

1

2

3






．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

數(shù)學(xué)期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習(xí)冊系列答案
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【題目】橢圓：，其長軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點(diǎn)和長軸頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作為直徑的圓的周長為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.若，求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，其中且.設(shè)的面積為.以、為直徑的圓的面積分別為，，求的取值范圍.

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【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，圓的方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求直線及圓的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線與圓交于兩點(diǎn)，求的值.

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【題目】2017 高考特別強(qiáng)調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（文、理科試卷滿分均為分），并對整個高三年級的學(xué)生進(jìn)行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)?/span>分成了組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于分）.

（1）求頻率分布直方圖中的的值，并估計(jì)所抽取的名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）若高三年級共有名學(xué)生，試估計(jì)高三學(xué)生中這次測試成績不低于分的人數(shù)；

（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于分的三組學(xué)生中抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人參加這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有人被抽到的概率.

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【題目】如圖，正三棱柱的各條棱長均相等， 為的中點(diǎn)， 分別是線段和線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足.當(dāng)運(yùn)動時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A. 平面平面 B. 三棱錐的體積為定值

C. 可能為直角三角形 D. 平面與平面所成的銳二面角范圍為

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【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè) ，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè) ，對任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn)．為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”他們的調(diào)查結(jié)果如下：

（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本．

（�。┣蟪槿〉奈目粕屠砜粕娜藬�(shù)；

（ⅱ）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：

，．

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例如,表中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）從參加測試的位學(xué)生中任意抽取位,求其中至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率;

（III）從參加測試的位學(xué)生中任意抽取位,設(shè)運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列.

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【題目】我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻題”，其內(nèi)容為：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢？各穿幾何？”如圖的程序框圖源于這個題目，執(zhí)行該程序框圖，若輸入x=20，則輸出的結(jié)果為（　　）

A. 3B. 4C. 5D. 6

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