Question

若不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

，在t∈（0，2]上恒成立，則a的取值范圍是

[

2

4

，1]

．

Answer 1

分析：欲使不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函數(shù)y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，而函數(shù)y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，利用基本不等式進行求解，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．

解答：解：要使不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函數(shù)y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．
而y1=

t

t2+2

=

1

t+ 2 t

，根據(jù)基本不等式最值成立的條件可知函數(shù)在t=

2

時取得最大值為

2

4

y2=

t+2

t2

= 

1

t

+

2

t2

=2(

1

t

+

1

4

)2 -

1

8

，從而函數(shù)在t=2時取得最小值為1
所以實數(shù)a的取值范圍是[

2

4

，1]
故答案為：[

2

4

，1]

點評：本題主要考查了不等式，函數(shù)的最值問題與恒成立結(jié)合的綜合類問題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、二次函數(shù)求最值的方法和問題轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．