Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  6

  ，1]
• B．[

  2

  13

  ，1]
• C．[

  1

  6

  ，

  4

  13

  ]
• D．[

  1

  6

  ，2

  2

  ]

Answer 1

分析：由基本不等式，算出函數(shù)y=

t

t2+9

在區(qū)間（0，2]上為增函數(shù)，得到t=2時，

t

t2+9

的最大值為

2

13

；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，算出t=2時

t+2

t2

的最小值為1．由此可得原不等式恒成立時，a的取值范圍是[

2

13

，1]．

解答：解：∵函數(shù)y=

t+2

t2

=

1

t

+

2

t2

，在t∈（0，2]上為減函數(shù)
∴當(dāng)t=2時，

t+2

t2

的最小值為1；
又∵

t

t2+9

≤

t

2 9t2

=

1

6

，當(dāng)且僅當(dāng)t=3時等號成立
∴函數(shù)y=

t

t2+9

在區(qū)間（0，2]上為增函數(shù)
可得t=2時，

t

t2+9

的最大值為

2

13

∵不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，
∴（

t

t2+9

）_max≤a≤（

t+2

t2

）_min，即

2

13

≤a≤1
可得a的取值范圍是[

2

13

，1]

點評：本題給出不等式恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)最值的求法和不等式恒成立的處理等知識，屬于中檔題．