【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是正三角形,E是AB中點(diǎn),A1E⊥平面ABC.
(I)證明:BC1∥平面 A1EC;
(II)若A1A⊥A1B,且AB=2.
①求點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離;
②求直線CB1與平面ACC1A1所成角的正弦值.
【答案】解:(I)證明:設(shè)AC1與A1C交于F點(diǎn),連接EF,
∵E,F(xiàn)分別是線段AB,AC1的中點(diǎn),
∴EF∥BC1 , 又EF平面 A1EC,BC1平面A1EC
故 BC1∥平面A1EC,
(II)①在正三角形A BC中,過E作E H⊥AC于H,連接A1H
顯然AC⊥平面A1EH,
∵AC平面ACC1A1
∴平面A1EH⊥平面ACC1A1 , 且兩個(gè)平面的交線為A1H
過E作EG⊥A1H于G,則EG⊥平面ACC1A1
在Rt△AA1B中,由已知易得A1E=1,在正三角形ABC中,
則在Rt△A1E H中,
即點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離為 ,
∵E是線段AB中點(diǎn),
∴點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離 ,
②延長EB至R點(diǎn),使EB=BR=1,連接RC,
∴B1R∥A1E,則B1R⊥平面ARC,即有B1R⊥RC
在△BRC中易得 ,
∴
設(shè)直線B1C與平面ACC1A1所成角為φ
則 .
【解析】(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.(Ⅱ)根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式以及線面角的定義,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x﹣1)2+lnx+1,g(x)=f(x)﹣x,其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=﹣ 時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),若y=f(x)圖象上的點(diǎn)都在 所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是正三角形,E是AB中點(diǎn),A1E⊥平面ABC.
(I)證明:BC1∥平面 A1EC;
(II)若A1A⊥A1B,且AB=2.
①求點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離;
②求直線CB1與平面ACC1A1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線方程為9x+3y-10=0,求
(1)實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間[0,3]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex , g(x)=kx+1.
(I)求函數(shù)y=f(x)﹣(x+1)的最小值;
(II)證明:當(dāng)k>1時(shí),存在x0>0,使對(duì)于任意x∈(0,x0)都有f(x)<g(x);
(III)若存在實(shí)數(shù)m使對(duì)任意x∈(0,m)都有|f(x)﹣g(x)|>x成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x、y滿足約束條件 ,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為7,則 的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】、是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、.若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對(duì)于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合:
①M(fèi)={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是( )
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
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