17.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5,圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù),α∈[0,2π]).
(1)求直線l和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系,并說明理由.

分析 (1)由直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5,把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標(biāo)方程,由圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù),α∈[0,2π]),利用sin2α+cos2α=1化為直角坐標(biāo)方程.
(2)解法一:設(shè)圓心C到直線l的距離為d,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d,再與圓C的半徑r=2,比較即可得出.
解法二:假設(shè)圓C與直線有公共點(diǎn)P(x,y),則$x-\sqrt{3}y-5=0$,將圓C的參數(shù)方程代入直線方程,有:$(5+2cosα)-\sqrt{3}(4+2sinα)=5$,判斷是否有解即可.

解答 解:(1)由直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ=5,化為直角坐標(biāo)方程為:$x-\sqrt{3}y-5=0$,
由圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2cosα}\\{y=4+2sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù),α∈[0,2π])化為直角坐標(biāo)方程為:(x-5)2+(y-4)2=4.
(2)直線l與圓C相離.
解法一:設(shè)圓心C到直線l的距離為d,則$d=\frac{{|{5-\sqrt{3}×4-5}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{(-\sqrt{3})}^2}}}}=2\sqrt{3}$,
∵圓C的半徑r=2,∴d>r.
∴直線l與圓C相離.
解法二:假設(shè)圓C與直線有公共點(diǎn)P(x,y),
則有$x-\sqrt{3}y-5=0$和$\left\{\begin{array}{l}x=5+2cosα\\ y=4+2sinα\end{array}\right.({α為參數(shù),α∈[0,2π)})$,
將圓C的參數(shù)方程代入直線方程,有:$(5+2cosα)-\sqrt{3}(4+2sinα)=5$,
整理得:$cosα-\sqrt{3}sinα=2\sqrt{3}$$2cos(α+\frac{π}{3})=2\sqrt{3}$$cos(α+\frac{π}{3})=\sqrt{3}>1$,此方程無解,
因此假設(shè)不成立,直線與圓相離.

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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③在五邊形ABCDE中,不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立.
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