Question

6．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）-log₄x]=5．x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)根，則x₀所在區(qū)間為（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （4，5）

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）-log₄x=t，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)方程，利用根的存在性定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)f（x）-log₄x=t，
則f（t）=5，
即f（x）=log₄x+t，
當(dāng)x=t時(shí)，f（t）=log₄t+t=5，
解得t=4，
∵在（0，+∞）的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）=log₄x+4，
則f′（x）=$\frac{1}{xln4}$，
則方程f（x）-f′（x）=4等價(jià)為log₄x+4-$\frac{1}{xln4}$=4，
即log₄x-$\frac{1}{xln4}$=0，
即lnx4•log₄x-$\frac{1}{x}$=0，
則lgx-$\frac{1}{x}$=0，
設(shè)h（x）=lgx-$\frac{1}{x}$，則函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則h（1）=lg1-1=-1＜0，
h（2）=lg2-$\frac{1}{2}$=lg$\frac{2}{\sqrt{10}}$＜0，
h（3）=lg3-$\frac{1}{3}$=lg$\frac{3}{\root{3}{10}}$＞0，
即在（2，3）內(nèi)函數(shù)h（x）存在一個(gè)零點(diǎn)，
即x₀所在區(qū)間為（2，3），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，利用函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件，將函數(shù)與方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．