Question

19．設M為直線x-y-1=0上的動點，過M作拋物線y=x²的切線，切點分別為A，B．
（1）求證：直線AB過定點．
（2）求△ABM面積S的最小值，并求此時取得最小值時M的坐標．

Answer 1

分析 （1）設設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），求切線MA，切線MB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，設直線AB的方程是y=kx+b，代入y=x²得x₀=$\frac{1}{2}$k，y₀=-b，代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{1}{2}$k-1，即可證明結論；
（2）由兩點間距離公式可求|AB|，由點到直線的距離公式可求點M到直線AB的距離d，由三角形面積公式及二次函數的性質即可得解．

解答 （1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
∵y=x²，∴y′=2x．
于是在點A處的切線方程為y-y₁=2x₁（x-x₁），化為y=2x₁x-x₁²．①
同理在點B處的切線方程為y=2x₂x-x₂²．②
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，顯然直線AB存在斜率．
設直線AB的方程是y=kx+b，代入y=x²得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，即x₀=$\frac{1}{2}$k，y₀=-b，
代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{1}{2}$k-1
∴y=kx-$\frac{1}{2}$k+1
∴y-1=k（x-$\frac{1}{2}$）
令x-$\frac{1}{2}$=0，可得y-1=0，∴x=$\frac{1}{2}$，y=1．
因此直線AB恒過定點（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）解：由（1）得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+4b}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$
點M到直線AB的距離是d=$\frac{\frac{1}{2}（{k}^{2}-2k+4）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
△MAB的面積=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{4}（{k}^{2}-2k+4）^{\frac{3}{2}}$≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當k=1時△MAB的面積取得最小值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，M的坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，兩點間距離公式，點到直線距離公式，直線的方程等知識的應用，難度大．熟練掌握導數的幾何意義及其切線方程是解題的關鍵．