Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-$\frac{1}{2}$且關(guān)于x的方程f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b在（1，4）上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，設(shè)m（x）=$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（II）關(guān)于x的方程f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b可化為：$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0，設(shè)方程的左邊為g（x），利用導(dǎo)數(shù)討論g（x）的單調(diào)性，得到它在[1，4]上先減再增，并且得到g（2）是極小值，g（1）和g（4）是極大值，由此建立不等式組并解之，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-2=$\frac{-2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則-2ax²-2x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，
設(shè)m（x）=$\frac{1-2x}{{2x}^{2}}$，（x＞0），
則m′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{3}}$，（x＞0），
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜m＜1，
故m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故m（x）的最小值是m（1）=-$\frac{1}{2}$，
故a≤-$\frac{1}{2}$．
（II）a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
設(shè)g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，則g'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，g'（x）＞0．
得函數(shù)g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函數(shù)．在（1，2）上是減函數(shù)
∴g（x）的極小值為g（2）=ln2-b-2；g（x）的極大值為g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，且g（4）=-b-2+2ln2；
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，解之得：ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，以及函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)值為一種研究函數(shù)的工具，能完成單調(diào)性的判定和最值的求解方程，同時(shí)能結(jié)合常用數(shù)學(xué)思想，來(lái)考查同學(xué)們靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．